結論
前の会社を辞めてから次の会社に入るまで期間が空けば、たとえ数日でも、その間は国民年金第1号への切り替え手続きが必要になることがあります。
ただし、空白がある=その月の国民年金保険料を必ず払うとは限りません。
同じ月の途中で新しい会社に入った場合
たとえば3月31日に退職し、4月16日に新しい会社で厚生年金に加入した場合、4月1日から15日までは第1号ですが、4月末時点では厚生年金に加入しています。この例では4月分の国民年金保険料は不要です。ただし、4月1日の第1号への切り替え手続き自体は必要です。
月末まで無職だった場合
退職後、その月末時点でも第1号のままなら、その月分の国民年金保険料が必要になるのが基本です。
ポイント
「何日空いたか」だけで判断せず、退職日、新しい会社の厚生年金資格取得日、その月末時点の加入状況を見ます。

コメント